İlk ve orta öğrenimini tamamladıktan sonra Bursa Cumhuriyet Lisesi'nden mezun olmuştur. Daha sonra Anadolu Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü'nden mezun olan Bozbey, aynı üniversitede yüksek lisansını tamamlayarak inşaat yüksek mühendisi ünvanını almıştır.
Siyasi kariyerine Cumhuriyet Halk Partisi'nde (CHP) aktif olarak başlayan Bozbey, 1999 yılından itibaren Nilüfer Belediye Başkanlığı görevini 20 yıl boyunca sürdürmüştür. Nilüfer'deki başarılı belediye başkanlığı döneminde, çevreci ve sürdürülebilir kent yönetimi anlayışıyla ön plana çıkmıştır.
Evli ve bir çocuk babası olan Mustafa Bozbey, Bursa Büyükşehir Belediye Başkanlığı için Cumhuriyet Halk Partisi adayı olarak gösterilmiş ve 2024 yerel seçimlerinde Bursa Büyükşehir Belediye Başkanı seçilmiştir. Özellikle çevre ve şehircilik konularında önemli adımlar atmış olan Bozbey'in, Bursa'da da benzer çalışmaları sürdürmesi beklenmektedir
